镇国学神从数学开始无敌第51章 这不是术这是道

考场内时间仿佛被一只无形的手按下了慢放键。

许燃的笔尖如同在冰面上起舞的精灵在雪白的卷纸上优雅地流淌。

他没有上来就写下一大串让人头皮发麻的复杂公式。

反而像一个最虔诚的初学者一样开始一笔一划地定义整个证明过程最基本的步骤。

【第一步：奠基。

】 【当n=4时一个K4图存在的概率为p^6。

虽然在极限情况下这个概率无限趋近于零微不足道但作为逻辑的起点它依然成立。

】 【第二步：归纳假设。

】 【假设当图的顶点数为k (k≥4)时该结论成立。

即当p*k^(2/3)/(log k)^(1/3)→∞时一个k阶随机图中几乎必然存在K4。

】 【第三步：递推证明。

】 【现在我们考虑一个有k+1个顶点的图 G_{k+1}。

】 这一步是所有数学归纳法的核心是那道从有限通往无限的桥梁也是最难的一步。

如何从“k”这个已知的世界稳固地递推到“k+1”这个未知的世界？ 监控室里所有专家教授都下意识地屏住了呼吸一个个伸长了脖子眼睛瞪得像铜铃。

他们绞尽脑汁也想不出该如何在一个充满“随机”和“概率”的框架下去完成这个看似不可能的递推。

就在这时只见许燃的笔轻轻一转。

他根本没有去分析那个无比复杂的 G_{k+1}整体。

而是写下了石破天惊足以让任何一个图论学者都大脑宕机的一行字。

【让我们换一个角度不去考虑这个静态的 G_{k+1}。

】 【我们来考察一个‘子过程’。

】 【我们不将图一次性生成而是想象成逐个地将顶点加入到图中。

】 【当我们加入第k+1个顶点命名为v时我们来考察它与之前已经存在的k个顶点{v_1 v_2... v_k}之间的连接情况。

】 “动态过程！他……他把一个静态的随机图问题转化成了一个动态的随机过程！” 那位白发苍苍在省数学会德高望重的老教授再也控制不住情绪“砰”的一声从椅子上站了起来。

他手指因为过度激动而剧烈颤抖指着屏幕嘴唇哆嗦着好半天才挤出一句话。

“我的天……这个思路……这个思路太野了！太疯狂了！这简直是降维打击！” 另外一个教授扶了扶自己的眼镜镜片下的双眼写满了震撼： “这……这已经不是在解题了！这是在创造一种全新的思维范式！ 他根本没打算在二维的棋盘上跟我们下棋他直接把棋盘给掀了自己重新画了一个三维的！” “疯子！真是个疯子！我收回我刚才的话他不是在胡闹他是在……展现天赋！” 许燃的笔还在不知疲倦地继续。

他引入了一个非常巧妙的辅助随机变量Y这个Y代表的事件是： 新加入的顶点v恰好与之前那个k阶图中一个“已经存在的K3子图”的所有顶点都产生了连边。

然后他用最基础的条件概率公式轻松写出了Y存在的概率表达式。

紧接着他做出了一个让监控室里所有人都眼珠子快掉出来的神来之笔般的操作。

他没有继续深入地去计算这个概率。

而是直接在表达式的旁边写下了另一个在数学界如雷贯耳但简单到连高中生都会的名字。

【柯西-施瓦茨不等式。

】 “什么？！” “柯西-施瓦茨？ 他写这个干什么？ 这玩意儿不是高中竞赛最基础的不等式吗？用在这里？开什么玩笑！” “等一下！不对！你们看他写的形式！” 一个年轻的博士生导师尖叫起来。

所有人的目光都死死钉在屏幕上。

许燃此刻信手拈来用出来的根本不是他们常见的那种形式而是一个极其精妙几乎无人问津的概率形式的变体！ 他鬼斧神工般地用这个最基础的不等式将一个无比复杂的概率乘积问题极其巧妙地转化为了一个异常简单的概率求和问题！ “我的天啊……” 一位教授喃喃自语“他甚至根本不需要知道那些精确的概率值到底是多少！” “对！他只需要知道它们的和随着k的不断增大是在变大还是在变小！” “而那个阈值函数……” 所有人的脑海中同时闪过了题目中给出的那个无比诡异的如同天外飞仙般的阈值函数 p*n^(2/3)/(log n)^(1/3)→∞！ 在这一刻它终于露出了它的獠牙！ 它不再是一个门槛一个限制。

而是变成了一把钥匙！ 一把能解开终极奥秘的钥匙！ 而这把钥匙完美地严丝合缝地插入了由柯西-施瓦茨不等式所构造出的那把“锁”里。

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